Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạna;b và giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn a;b. Khi đó hiệu F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).

Tích phân từ a đến b của f(x) được ký hiệu là: ∫abf(x)dx

Ta có: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a) (với F(x) là một nguyên hàm của f(x))

Ta thường sử dụng ký hiệu F(x)∣∣∣ba để chỉ hiệu F(b)−F(a).

Vậy ta có: ∫abf(x)dx=F(x)∣∣∣ba=F(b)−F(a)

Ví dụ 1: F(x)=x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=2x trên đoạn1;2 nên tích phân từ 1 đến 2 của f(x) là F(2)−F(1)=22−12=3.

Vậy ta có: ∫122xdx=x2∣∣∣21=22−12=3

Lưu ý: Ta biết rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trêna;b thì F(x)+C (với C là một số thuộc R) cũng là một nguyên hàm của f(x) trêna;b. Vậy nếu ta sử dụng F(x)+C để tính tích phân từ a đến b của f(x) thì có khác so với sử dụng F(x) hay không? Câu trả lời là không có gì khác bởi vì:

(F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)+C−F(a)−C=F(b)−F(a)

Vậy khi tính tích phân của f(x) ta có thể sử dụng nguyên hàm là F(x) hoặc F(x)+C tùy ý. Tuy nhiên để tránh phức tạp thì ta thường sử dụng F(x) (trừ một số trường hợp đặc biệt).

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a) ∫01(3x2+x)dx=(x3+x22)∣∣∣10=(13+122)−(03+022)=32

b) ∫0π2sinxdx=−cosx∣∣∣π20=(−cosπ2)−(−cos0)=1

c) ∫1e1xdx=ln|x|∣∣∣e1=ln1−lne=−1

Lưu ý: Ta có một số quy ước sau:

1) ∫aaf(x)dx=0

2) ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx

Tính chất của tích phân

Tính chất 1: Với k là một hằng số thì ta có tính chất sau:

∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx

Nghĩa là ta có thể đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân.

Ví dụ 3: ∫124x2dx=4∫121x2dx=4[(−1x)∣∣∣21]=4[(−12)−(−11)]=2

Tính chất 2: Ta có thể tách tích phân từ a đến b của một tổng hay một hiệu thành tổng hoặc hiệu của hai tích phân.

∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx

Ví dụ 4: ∫0π4(x+cosx)dx=∫0π4xdx+∫0π4cosxdx=x22∣∣∣π40+sinx∣∣∣π40=π232+2√2

Tính chất 3: Với một số c nằm giữa a và b thì ta có thể tách tích phân từ a đến bthành tổng của hai tích phân từ a đến c và từ c đến b.

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx với a<c<b.

Tính chất này thường áp dụng để tính các tích phân có dấu trị tuyệt đối.

Ví dụ 5: Tính tích phân: I=∫02|x−1|dx

Phân tích: Ta có bảng xét dấu của x−1 trên đoạn0;2

Trên đoạn0;1 thì x−1≤0 nên |x−1|=1−x.

Trên đoạn1;2 thì x−1≥0 nên |x−1|=x−1.

Giải

I=∫02|x−1|dx=∫01|x−1|dx+∫12|x−1|dx

=∫01(1−x)dx+∫12(x−1)dx=(x−x22)∣∣∣10+(x22−x)∣∣∣21=1

Lưu ý: Trong ví dụ 4 ta có thể không cần quan tâm đến dấu của x−1 mà chỉ cần đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân. Ta sẽ giải như sau:

∫02|x−1|dx=∫01|x−1|dx+∫12|x−1|dx

=∣∣∣∫01(x−1)dx∣∣∣+∣∣∣∫12(x−1)dx∣∣∣=∣∣∣(x22−x)∣∣∣10∣∣∣+∣∣∣(x22−x)∣∣∣21∣∣∣

=∣∣12∣∣+∣∣−12∣∣=1

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính các tích phân sau:

1) ∫01(5x4−x2+3)dx          2) ∫01(2x−2)4dx

3) ∫02e−x+5dx                           4) ∫−103−2x+1dx

5) ∫0π8cos22xdx                         6) ∫122x3−5x2x2dx

7) ∫14|x−2|dx                         8) ∫01∣∣e2x−1−1∣∣dx