Lý thuyết và bài tập Tích vô hướng của hai vectơ

A. Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

1.Định nghĩa

Cho hai vectơ  và khác vectơ  Tích vô hướng của và  là một số được ký hiệu là  được xác định bởi công thức sau :

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ bất kì và mọi số k ta có :

 (tính chất giao hoán)

( tính chất phân phối)

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ  = (a₁ ; a₂ ) được tính theo công thức:

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu  =(a₁ ; a₂ ), (b_{1 ;} b₂ ) khác vectơ 

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(x_A; y_A ) và B(x_B ; y_B ) được tính theo công thức :

AB = 

[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]

B. Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1 trang 45 sgk hình học 10

1.Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng 

Hướng dẫn giải:

 

 

Bài 2 trang 45 sgk hình học 10

2. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng biết OA = a, OB = b. tính tích vô hướng của trong 2 trường hợp

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB

b) Điểm O nằm trong đoạn AB

Hướng dẫn giải:

a) Khi O nằm ngoài đoạn AB thì  hai vec tơ  cùng hướng và góc

= a.b

b)  Khi O nằm ngoài trongđoạn AB thì  hai vectơ ngược hướng và góc

(= 180⁰ 

cos= -a.b

Bài 3 trang 45 sgk hình học 10

3. Cho nửa đường tròn tâm O có  đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.

a) Chứng minh   và 

B) Hãy dùng câu a) để tính theo R

Hướng dẫn

a) Nối BM

Ta có AM= AB.cosMAB

=> |

Ta có:    vì hai vectơ cùng phương)

=> cosAMB.

nhưng  | = 

Vậy   

Với lý luận tương tự.

 

Bài 4 trang 45 sgk hình học 10

4 Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4;2)

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;

b) Tính chu vi tam giác OAB;

c) Chứng tỏ rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB

Hướng dẫn:

a) D nằm trên trục Ox nên tọa độ của D là (x; 0).

Ta có :

DA²  = (1 – x)² + 3²

DB²  = (4 – x)² + 2²

DA = DB =>  DA²  = DB²

<=> (1 – x)² + 9  =  (4 – x)² + 4

<=>  6x = 10

=> x = ; 0)

b)

OA²  = 1² + 3² =10  => OA = √10

OB²  = 4² + 2² =20  => OA = √20

AB² = (4 – 1)² + (2 – 3)²  = 10 => AB = √10

Chu vi tam giác OAB: √10 + √10 + √20 = (2 + √2)√10.

c) Ta có  = (1; 3)

 

S_OAB =   => S_OAB =5 (dvdt)

Bài 5 trang 45 sgk hình học 10

 

 

Bài 6 trang 46 sgk hình học 10

6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm :

A(7; -3);   B(8; 4);   C(1; 5);   D(0;-2).

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Hướng dẫn:

 

ta lại có : AB² = 50    =>   AB = 5 √2

AD² = 50    =>   AD = 5 √2

AB = AD, kết hợp với (1)  => ABCD là hình thoi (2)

Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông

Bài 7 trang 46 sgk hình học 10

Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đói xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ băng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.

Hướng dẫn:

Điểm B đối xứng với A qua gốc tọa độ nên tọa độ của B là (2; -1)

Tọa độ của C là (x; 2). Ta có: = (-2 – x; -1)

 = (-2 – x; -3)

Tam giác ABC vuông tại C  => 

=> (-2 – x)(2 – x) + (-1)(-3) = 0

=> -4 + x²+ 3 = 0

=>  x² = 1 => x= 1 hoặc x= -1

Ta được hai điểm   C₁(1; 2);   C₂(-1; 2)