March 21, 2017

| No Comments

Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

A. Lý thuyết liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tóm tắt lý thuyết

Định lý 1: Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lý 2. Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

B. Bài tập

Bài 12 trang 106 sgk Toán 9 – tập 1

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ $O H ⊥ A B$ , ta có

$H A = H B = 4 c m .$

Xét tam giác HOB vuông tại H, có:

$O H^{2} = O B^{2} - H B^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 9 \Rightarrow O H = 3 (c m)$ .

b) Vẽ $O K ⊥ C D$ .

Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra $O K = H I$ . Ta có $H I = 4 - 1 = 3 c m$ , suy ra $O K = 3 c m .$

Vậy $O H = O K = 3 c m .$

Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó $A B = C D .$

Bài 13. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH = EK

b) EA = EC.

Hướng dẫn giải:

a) Vì $H A = H B$ nên $O H ⊥ A B$ .

Vì $K C = K D$ nên $O K ⊥ C D$ .

Mặt khác, $A B = C D$ nên $O H = O K$ (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

$Δ H O E = Δ K O E$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra $E H = E K . (1)$

b) Ta có $A H = K C$ (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $E H + H A = E K + K C$

hay $E A = E C .$

Bài 14. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $25 c m$ , dây $A B$ bằng $40 c m$ . Vẽ dây $C D$ song song với $A B$ và có khoảng cách đến $A B$ bằng $22 c m$ . Tính độ dài dây $C D$ .

Giải

Vẽ $O H ⊥ A B$ , đường thẳng $O H$ cắt $C D$ tại $K$ .

Ta có

$O K ⊥ C D$

$K C = K D$

$A H = H B$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $O B H$ vuông tại $H$ , ta có:

$O H = \sqrt{O B^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}} = 15 (c m)$

$\Rightarrow O K = 22 - 15 = 7 (c m)$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $O K D$ vuông tại $K$ , ta có:

$K D = \sqrt{O D^{2} - O K^{2}} = 24 (c m)$

$\Rightarrow C D = 2 K D = 48 (c m)$

Bài 15 trang 106 sgk Toán 9 – tập 1

Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết $A B > C D$

Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK;

b) ME và MF;

c) MH và MK.

Hướng dẫn giải:

a) Xét trong đường tròn nhỏ:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

$A B > C D \Rightarrow O H < O K$

b) Xét trong đường tròn lớn:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

$O H < O K \Rightarrow M E > M F$

c) Xét trong đường tròn lớn:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

$M E > M F \Rightarrow M H > M K$

Bài 16. Cho đường tròn $(O)$ , điểm $A$ nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây $B C$ vuông góc với $O A$ tại $A$ . Vẽ dây $E F$ bất kì đi qua $A$ và không vuông góc với $O A$ . Hãy so sánh độ dài hai dây $B C$ và $E F$ .

Giải

Vẽ $O H ⊥ E F$

Xét tam giác $H O A$ vuông tại $H$ ta có:

$O H < O A$ .

Suy ra $E F > B C .$

Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm $A$ ở trong đường tròn, dây vuông góc với $O A$ là dây ngắn nhất.

Toán

| Tags: Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dâyitconsultant

Thầy Nguyễn Thế Anh

Call Us: 0986683218