Các bài toán hay từ đề cương các trường THPT tại Hà Nội

Đề thi học kì 1 lớp 11 – THPT Kim Liên Hà Nội: Cho hình đa giác đều H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của hình H. Tính xác suất để 4 đỉnh chọn được tạo thành hình vuông ?
A.120 /1771         B.2/1771         C.1/161         D.1/1771

Hướng dẫn bởi thầy Thế Anh – trích từ khóa học VIP 11 – Nâng cao của Thầy Thế Anh

Bài này là một bài khá hay đòi hỏi độ vận dụng cao

Không gian mẫu: Chọn 4 đỉnh trong 24 đỉnh là: (24)C4 

Biến cố: hình được chọn là hình vuông. Chúng ta phải tìm số hình vuông của đa giác 24 cạnh đó.

Chúng ta thấy có 12 đường chéo qua tâm O. Chọn 2 đường chéo trong n đường chéo ta sẽ có được hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật là nC2. Bài toán này chúng ta khá quen thuộc.

Nhưng bài này yêu cầu tìm số hình vuông nên ta cần phải nắm vững kiến thức: hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc với nhau thì mới là hình vuông 😀

Công thức: Góc ở tâm sẽ là 360/24=15 độ. Vậy cần 90 độ tức là cần 90/15=6 hình vuông.

Bài toán tổng quát: Cho đa giác đều n cạnh. Hỏi có bao nhiêu hình vuông được tạo bởi 4 đỉnh của đa giác?

Số hình vuông được tạo thành từ đa giác đều n cạnh là: n/4. Công thức tính nhanh 🙂

Thầy Thế Anh – 0986.683.218

Một số bài toán hay gây nhầm lẫn:

Một tổ gồm 5 bạn nữ và 8 bạn nam xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để không có hai bạn nữ bất kì nào đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn bởi Thầy Thế Anh

Tổng số cách xếp 13!13!
Tiếp theo ta tính số cách xếp mà không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau.
Để không có bạn nữ nào đứng cạnh nhau, ta sẽ xếp các bạn nam thành hàng trước rồi xếp xen kẽ các bạn nữ vào hàng sau.
Bước 1: Xếp các bạn nam, có 8! cách xếp.
Bước 2: Sau khi xếp các bạn nam sẽ có 9 vị trí (đầu hàng, cuối hàng và xen giữa 2 bạn nam) để xếp 5 bạn nữ. Có 9A5 cách xếp các bạn nữ.
Theo quy tắc nhân có 8!.9A5 cách xếp để hai bạn nữ không đứng cạnh nhau. Vậy xác suất là 8!.9A5/13!

Bài toán 1. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế gồm có 6 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nam nữ xen kẽ nhau?

Nếu bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có 3 cách xếp bạn nam và  cách xếp bạn nữ. Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có  cách xếp bạn nữ và  cách xếp bạn nam. Thành ra có $2.{\left(3!\right)}^{}$cách xếp.

Bài toán 2. Mỗi tổ học sinh có 10 bạn trong đó có ba bạn A, B, C hay nói chuyện riêng nên không được xếp cho 3 bạn này đứng cạnh nhau đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh nói trên thành một hàng?

Giải Xếp 7 học sinh(không có A, B, C) trước ta có $7!$ cách xếp. Cố định mỗi cách xếp 7 học sinh trên, ta có 8 vị trí có thể xếp A, B, C vào đó để thỏa mãn đề bài. Số cách xếp A, B, C là 8${\mathrm{A3}}^{}$Như vậy có $7!.8A^3$ cách xếp thỏa đề.

Tổng quát: Tính số cách sắp xếp XEN KẼ, có $3$ TH có thể xảy ra.

Gọi $x$ và $y$ là số phần tử của $2$ nhóm ($x⩾y$) :

+ Nếu $x-y=0$thì số cách sắp xếp xen kẽ là $2.{\left(x!\right)}^{}$

+ Nếu $x-y=1$ thì số cách sắp xếp xen kẽ là $x!.y!=x!.\left(x-1\right)!$

+ Nếu $x-y⩾2$thì số cách sắp xếp xen kẽ là $0$.

Đề cương học kì 1 – THPT Chu Văn An

Cho 15 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp các đường thẳng đi qua 2 điểm của 15 điểm đã cho. Số giao điểm khác 15 điểm đã cho do các đường thẳng này tạo thành nhiều nhất là bao nhiều?

A.105A2            B. 4095             C. 5445           D. 105C2

Đáp án: Chọn C. 

Cứ 4 đỉnh bất kỳ sẽ cho ta tối đa ba giao điểm (Không tính các đỉnh đó). Như vậy có tất cả 15C4x3=4095 giao điểm

Cho 2017 nam và 2017 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ công tác mà số nam nhiều hơn số nữ 4 người.

Khai triển (1+x)^2034=(1+x)^2017×(1+x)^2017và tìm hệ số của x mũ 2021. Đáp số 4024C2021