Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn
A. Lý thuyết về Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn
1. Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
- a≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất x = .
- a = 0; b ≠ 0; (1) vô nghiệm.
- a=0; b = 0: (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
- Ghi chú: Phương trình ã + b = 0 với a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn (x)
2. Phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c= 0 (a ≠ 0)
∆ = b2 -4ac được gọi là biệt thức của phương trình (2).
+ ∆ > 0 thì (2) có nghiệm phân biệt x1,2 =
+ ∆ = 0 thì (2) có 2 nghiệm kép x = –
+ ∆ < – thì (2) vô nghiệm.
3. Định lí Vi-ét
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì
x1 + x2 = , x1x2=
Đảo lại: Nếu hai số u và v có tổng u + v =S và tích u.v = P thì u, v là các nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0.
4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là đặt các điều kiện xác định để đưa phương trình có dấu giá trị tuyệt đối thành phương trình không dấu giá trị tuyệt đối.
5. Phương trình chứa dấu căn
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là đặt điều kiện rồi lũy thừa một cách thích hợp hai vế của phương trình để làm mất dấu căn thức.
[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]
B. Lý thuyết về Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn
Bài 1 trang 62 sgk đại số 10
Bài 1 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình:
Lời giải:
a) Điều kiện: 2x + 3 ≠ 0
⇔ 4(x2 + 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3)
⇔ 16x = -23
b) Điều kiện: x ≠ ±3
⇔ (2x + 3)(x + 3) – 4(x – 3) = 24 + 2(x2 – 9)
⇔ 5x = -15
⇔ x = -3 (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Điều kiện: 3x – 5 ≥ 0
Bình phương hai vế của phương trình ta có:
3x – 5 = 9
d) Điều kiện: 2x + 5 ≥ 0
Bình phương hai vế của phương trình ta có:
2x + 5 = 4
Bài 1. Giải các phương trình
a) = ;
b) + 2;
c) = 3;
d) = 2.
Hướng dẫn giải:
a) ĐKXĐ:
2x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ –
Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được
4(x2 + 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3) => 12x + 8 = – 4x – 15
=> x = – (nhận).
b) ĐKXĐ: x ≠ ± 3. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thì được
(2x + 3)(x + 3) – 4(x – 3) = 24 + 2(x2 -9)
=> 5x = -15 => x = -3 (loại). Phương trình vô nghiệm.
c) Bình phương hai vế thì được: 3x – 5 = 9 => x = (nhận).
d) Bình phương hai vế thì được: 2x + 5 = 4 => x = –
Bài 2 trang 62 sgk đại số 10
Bài 2 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) m(x – 2) = 3x + 1 ;
b) m2x + 6 = 4x + 3m ;
c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.
Lời giải:
a) m(x – 2) = 3x + 1
⇔ (m – 3)x = 1 + 2m (1)
– Nếu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất
– Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì (1) ⇔ 0x = 7
=> phương trình vô nghiệm
b) m2x + 6 = 4x + 3m
⇔ (m2 – 4)x = 3m – 6 (2)
– Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
– Nếu m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2
+ Với m = 2 thì (2) ⇔ 0x = 0 => phương trình có vô số nghiệm
+ Với m = -2 thì (2) ⇔ 0x = -12 => phương trình vô nghiệm
c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2
⇔ 2mx + x – 2m – 3x + 2 = 0
⇔ 2mx – 2x – 2m + 2 = 0
⇔ (m – 1)x – (m – 1) = 0
⇔ (m – 1)(x – 1) = 0
– Nếu m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 thì (3) tương đương với:
x – 1 = 0 => x = 1
– Nếu m – 1 = 0 ⇔ m = 1 thì (3) ⇔ 0x = 0
=> phương trình có vô số nghiệm
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a) m(x – 2) = 3x + 1;
b) m2x + 6 = 4x + 3m;
c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.
Hướng dẫn giải:
a) ⇔ (m – 3)x = 2m + 1.
- Nếu m ≠ 3 phương trình có nghiệm duy nhất x =
- Nếu m = 3 phương trình trở thành 0x = 7. Vô nghiệm.
b) ⇔ (m2 – 4)x = 3m – 6.
- Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2, có nghiệm x =
- Nếu m = 2, phương trình trở thành 0x = 0, mọi x ∈ R đều nghiệm đúng phương trình.
- Nếu m = -2, phương trình trở thành 0x = -12. Vô nghiệm.
c) ⇔ 2(m – 1)x = 2(m-1).
- Nếu m ≠ 1 có nghiệm duy nhất x = 1.
- Nếu m = 1 mọi x ∈ R đều là nghiệm của phương trình
Bài 3 (trang 62 SGK Đại số 10): Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi x là số quýt ở mỗi rổ (x > 30; x ∈ N).
Khi lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì:
– Rổ thứ nhất còn x – 30 (quả)
– Rổ thứ hai có x + 30 (quả)
Theo đề bài ta có phương trình:
⇔ 3(x + 30) = (x – 30)2
⇔ x2 – 63x + 810 = 0
⇔ x = 18 (loại) hoặc x = 45 (thỏa mãn)
Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả quýt.
a) 2x4 – 7x2 + 5 = 0 ; b) 3x4 + 2x2 – 1 = 0
Lời giải:
a) 2x4 – 7x2 + 5 = 0 (1)
Đặt t = x2 (Điều kiện: t ≥ 0)
Khi đó (1) ⇔ 2t2 – 7t + 5 = 0
– Với t = 1 ta có: x2 = 1 ⇔ x = ±1
b) 3x4 + 2x2 – 1 = 0 (2)
Đặt t = x2 (Điều kiện: t ≥ 0)
Khi đó (2) ⇔ 3t2 + 2t – 1 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm:
Bài 5 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)
a) 2x2 – 5x – 4 = 0 ; b) -3x2 + 4x + 2 = 0
c) 3x2 + 7x + 4 = 0 ; d) 9x2 – 6x – 4 = 0.
ướng dẫn cách giải câu a): Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím
màn hình hiện ra x1 = 3.137458609
Ấn tiếp
Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là x1 ≈ 3.137 và x2 ≈ -0.637.
Lời giải:
a) Cách giải ở trên, kết quả:
x1 ≈ 3.137 và x2 ≈ -0.637
b) Ấn liên tiếp các phím
và sau đó ấn phím =.
c) Ấn liên tiếp các phím
và sau đó ấn phím =.
Kết quả làm tròn: x1 ≈ -1 và x2 ≈ -1,333
d) Ấn liên tiếp các phím
và sau đó ấn phím =.
Kết quả đã làm tròn: x1 ≈ 1,079 và x2 ≈ -0,412
Bài 6 trang 62 sgk đại số 10
Bài 7 (trang 63 SGK Đại số 10): Giải các phương trình
Lời giải:
a)
Vậy phương trình có nghiệm x = 15.
b) Điều kiện: -2 ≤ x ≤ 3
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
c)
Vậy phương trình có hai nghiệm:
d) Điều kiện:
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2
4x2 + 2x + 10 = 9x2 + 6x + 1
5x2 + 4x – 9 = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Lời giải:
iả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 với x2 = 3x1
Theo định lí Vi-ét ta có:
⇔ -3m2 + 30 m – 63 = 0
⇔ m2 – 10 m + 21 = 0
⇔ m1 = 3 ; m2 = 7
– Thay m = 3 vào x1, x2 ở trên ta được hai nghiệm là:
– Thay m = 7 vào x1, x2 ở trên ta được hai nghiệm là:
Bài 6. Giải các phương trình.
a) |3x – 2| = 2x + 3;
b) |2x -1| = |-5x – 2|;
c)
d) |2x + 5| = x2 +5x +1.
Hướng dẫn giải:
a) ĐKXĐ: 2x + 3 ≥ 0. Bình phương hai vế thì được:
(3x – 2)2 = (2x + 3)2 => (3x – 2)2 – (2x + 3)2 = 0
⇔ (3x -2 + 2x + 3)(3x – 2 – 2x – 3) = 0
=> x1 = (nhận), x2 = 5 (nhận)
Tập nghiệm S = { 5}.
b) Bình phương hai vế:
(2x – 1)2 = (5x + 2)2 => (2x – 1 + 5x + 2)(2x – 1 – 5x – 2) = 0
=> x1 = x2 = -1.
c) ĐKXĐ: x ≠ x ≠ -1. Quy đồng rồi khử mẫu thức chung
(x – 1)|x + 1| = (2x – 3)(-3x + 1)
- Với x ≥ -1 ta được: x2 – 1 = -6x2 + 11x – 3 => x1 =
x2 = - Với x < -1 ta được: -x2 + 1 = -6x2 + 11x – 3 => x1 = (loại vì không thỏa mãn đk x < -1); x2 = (loại vì x > -1)
Kết luận: Tập nghiệm S = {;
d) ĐKXĐ: x2 +5x +1 > 0
- Với x ≥ ta được: 2x + 5 = x2 + 5x + 1
=> x1 = -4 (loại); x2 = 1 (nhận) - Với x < ta được: -2x – 5 = x2 + 5x + 1
=> x1 =-6 (nhận); x2 = -1 (loại).
Kết luận: Tập nghiệm S = {1; -6}
[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]