NGUYÊN HÀM: LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
- Bài viết gồm 2 phần: Phần Lý thuyết và Phần Bài tập.
- Phần lý thuyết gồm định nghĩa, định lý, tính chất và bảng công thức.
- Phần bài tập gồm các dạng bài tập của phần nguyên hàm.
PHỤ HUYNH VÀ CÁC EM HỌC SINH CÓ THỂ TÌM HIỂU THÊM
I. Lý thuyết nguyên hàm:
1. Định nghĩa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b)nếu F′(x)=f(x)
Ví dụ:
- Hàm số y=x2 là nguyên hàm của hàm số y=2x trên R vì (x2)′=2x
2. Định lý:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
- Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C
3. Sự tồn tại của nguyên hàm:
- Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Các tính chất:
5. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp:
- Tìm hiểu thêm về các công thức nguyên hàm cơ bản và nâng cao ở đây.
II. Các phương pháp tính nguyên hàm:
1.Phương pháp đổi biến số:
- Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
+) ∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C
- Chứng minh:
+) ∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx thì ta đặt:
+) Khi đó:
- Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có:
- Các dạng biến số thường gặp:
2. Phương pháp nguyên hàm từng phần:
- Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
+) ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx
+) Hay ∫udv = uv – ∫vdu
- Các dạng bài thường gặp có thể dùng phương pháp nguyên hàm từng phần:
- Chú ý: đặt u là “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” còn lại đặt dv.
- Tìm hiểu thêm về nguyên hàm từng phần ở đây.
III. Một số bài tập tính nguyên hàm:
1. Bài tập vận dụng phương pháp sử dụng công thức nguyên hàm đơn giản:
2. Bài tập sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:
3. Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến số:
4. Bài tập trắc nghiệm:
https://drive.google.com/file/d/1p3ynt4aS2lkFDQVgYKzSJYZA8bsSkV66/view?usp=sharing
5. Bài tập nguyên hàm vận dụng cao: Xem thêm ở đây.