Lý thuyết và Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ
A. Lý thuyết về Tổng và hiệu của hai vectơ
1.
Định nghĩa: Cho hai vectơ ,
. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ
=
,
=
. Vectơ
được gọi là tổng của hai vectơ
và
.
=
+
.
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì
+
=
.
3. Tính chất của tổng các vectơ
– Tính chất giao hoán +
=
+
– Tính chất kết hợp ( +
) +
=
+ (
+
)
– Tính chất của :
+
=
+
.
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ được gọi là vec tơ đối của vec tơ
, kí hiệu –
.
Vec tơ đối của là vectơ
.
b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ ,
. Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu
–
là vectơ
+ (-
)
–
=
+ (-
).
c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có
+
=
(1)
–
=
(2)
(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.
(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.
5. Áp dụng
a) Trung điểm của đoạn thẳng:
I là trung điểm của đoạn thẳng⇔ +
=
b) Trọng tâm của tam giác:
G là trọng tâm của tam giác ∆ABC ⇔ +
+
=
[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]
B. Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 1 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ +
và
–
Hướng dẫn giải:
Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ để có =
Như vậy +
=
+
=
( quy tắc 3 điểm)
Vậy vec tơ chính là vec tơ tổng của
và
=
+
.
Ta lại có –
=
+ (-
)
–
=
+
(vectơ đối)
Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có
+
=
+
=
(quy tắc 3 điểm)
Vậy –
=
Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng +
=
+
.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:
=
+
=
+
=> +
=
+
+ (
+
)
ABCD là hình bình hành, hi vec tơ và
là hai vec tơ đối nhau nên:
+
=
Suy ra +
=
+
.
Cách 2. Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ
=
–
=
–
=> +
= (
+
) – (
+
).
ABCD là hình bình hành nên và
là hai vec tơ đối nhau, cho ta:
+
=
Suy ra: +
=
+
.
Bài 4 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 4 .Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng +
+
=
Hướng dẫn giải:
Ta xét tổng:
+
+
+
+
+
=
=
(1)
Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:
=
=
=
=> +
+
=
+
+
=
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra : +
+
=
(dpcm)
Bài 5 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 5. Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ +
và
–
Hướng dẫn giải:
Ta có +
=
=
= a
Ta có: –
=
+
.
Trên tia CB, ta dựng =
=> –
=
+
=
Tam giác EAC vuông tại A và có : AC = a, CE = 2a , suy ra AE = a√3
Vậy =
= a√3
Bài 6 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) –
=
;
b) –
=
;
c) –
=
–
;
d) –
+
=
.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:
=
–
(1)
Mặt khác, =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
=
–
.
b) Ta có : =
–
(1)
=
(2)
Từ (1) và (2) cho ta:
=
–
.
c) Ta có :
–
=
(1)
–
=
(2)
=
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
d) –
+
= (
–
) +
=
+
=
+
( vì
=
) =
Bài 7 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 7. Cho ,
là hai vectơ khác
. Khi nào có đẳng thức
a) =
+
;
b) =
.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có =
+
Nếu coi hình bình hành ABCd có =
=
và
=
=
thì
là độ dài đường chéo AC và
= AB;
= BC.
Ta lại có: AC = AB + BC
Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa hai điểm A, C.
Vậy =
+
khi hai vectơ
,
cùng hướng.
b) Tương tự, là độ dài đường chéo AC
là độ dài đường chéo BD
=
=> AC = BD.
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD AB hay
Bài 8 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 8. Cho = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ
và
Hướng dẫn giải:
Từ = 0, ta có
+
= 0 =>
= –
Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài =
, cùng phương và ngược hướng
Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 9. Chứng minh rằng =
khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh hai mệnh đề.
a) Cho =
thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có =
+
;
=
+
Vì =
nên
+
=
+
=> –
=
–
=> +
=
+
(1)
Vì I là trung điểm của AD nên +
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra +
=
(3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.
b) AD và BC có chung trung điểm I, ta chứng minh =
.
I là trung điểm của AD => +
=
=>
–
=
I là trung điểm của BC => +
=
=>
–
=
Suy ra –
=
–
=> +
=
+
=>
=
(đpcm)
Bài 10 trang 12 sgk hình học lớp 10
Bài 10. Cho ba lực 
= 
, 
= 
và 
= 
cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của , đều là 100N và 
= 
Tìm cường độ và hướng của lực .
Hướng dẫn giải:
Đáp số 
= 100√3 và ngược hướng với hướng 
với E là đỉnh thứ tư của hình bình hành MACB
[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]