Chương I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

A. Lý thuyết một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Nếu ∆ABC vuông tại A (hình bên) thì:

b²=ab’; c²=ac’ (1)

h²=b’c’ (2)

bc = ah (3)

$\frac{\mathrm{1/}}{{\mathrm{h^}}^2}=\frac{\mathrm{1/}}{{\mathrm{b^}}^2}+\frac{\mathrm{1/}}{{\mathrm{c^}}^2}$ (4)

a²⁼ b²+ c² (5).

B. Bài tập 

Bài 1. Hãy tính x và y trong mỗi hình sau (hình 4a, b):

Hướng dẫn giải:

a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{\mathrm{B^}}^2+A{\mathrm{C^}}^2}=\sqrt{{\mathrm{6^}}^2+{\mathrm{8^}}^2}=10$

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

$A{\mathrm{B^}}^2=BC.BH\Rightarrow BH=\frac{A{\mathrm{B^}}^{\mathrm{2/}}}{BC}=\frac{{\mathrm{6^}}^{\mathrm{2/}}}{10}=3,6$

$HC=BC=BH=10-3,6=6,4$

Hay: x = 3,6;  y = 6,4

b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới

Ta vẽ hình và đặt tên thích hợp:

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:

$A{\mathrm{B^}}^2=BH.BC=20.x\Rightarrow x=\frac{A{\mathrm{B^}}^{\mathrm{2/}}}{BC}=\frac{{\mathrm{12^2/}}^{}}{20}=7,2$

$HC=BC-BH=20-7,2=12,8$

Hay x = 7,2;  y = 12,8

Bài 2. Hãy tính x và y trong hình dưới đây :

Hướng dẫn giải:

Từ đề bài ta có cạnh huyền của tam giác có độ lớn là: 1 + 4  = 5 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền, ta được:

${\mathrm{x^}}^2=1.5\iff x=\sqrt{5}$

${\mathrm{y^}}^2=5.4\iff y=2\sqrt{5}$

Bài 3: Hãy tính x và y trong hình sau:

Bài 4. Hãy tính x và y trong hình sau:

Hướng dẫn giải:

Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình bên dưới

Áp dụng hện thức ${\mathrm{h^}}^2=b^{\prime }{c}^{\prime }$ta có:

$A{\mathrm{H^}}^2=HB\cdot HC\Rightarrow HC=\frac{A{\mathrm{H^}}^{\mathrm{2/}}}{HB}=4$

Do đó $x=4$

Áp dụng hệ thức ${\mathrm{b^}}^2=a{b}^{\prime }$ ta có 

$A{\mathrm{C^}}^2=BC\cdot HC\Rightarrow {\mathrm{y^}}^2=5\cdot 4=20\Rightarrow y=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Nhận xét: Ta có thể tính y theo định lý Pi-ta-go:

${\mathrm{y^}}^2=2^2+4^2=20\Rightarrow y=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Bài 5. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{\mathrm{B^}}^2+A{\mathrm{C^}}^2}=\sqrt{{\mathrm{3^}}^2+{\mathrm{4^}}^2}=5$

Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác ABC vuông tại A, AHB vuông tại H, AHC vuông tại H, ta có:

$AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=(\frac{AB.A\mathrm{C)/}}{BC}=\frac{\mathrm{3.4/}}{5}=2,4$

$CH=BC-BH=5-1,8=3,2$

Bài 7. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là ${\mathrm{x^}}^2=ab$ ) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. 

Xét tam giác ABC ta có:

$OA=OB=OC=\frac{B\mathrm{C^}}{2}\left(=R\right)$

Suy ra ∆ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức ${\mathrm{h^}}^2=b^{\prime }{c}^{\prime }\Rightarrow {\mathrm{x^}}^2=ab$

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

Xét tam giác ABC ta có:

$OA=OB=OC=\frac{B\mathrm{C^}}{2}\left(=R\right)$

Suy ra ∆ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức $A{\mathrm{B^}}^2=BC.BH\Rightarrow {\mathrm{x^}}^2=ab$