A. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1.Khái niệm 

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng

{\displaystyle f(x)<g(x),f(x)>g(x),f(x)\leq g(x),f(x)\geq g(x)}

Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình.

Tuy nhiên các bất phương trình trên đều có thể chuyển về dạng tương đương f(x)> 0 (hoặc f(x) ≥ 0).

Cũng như trong phương trình, biến x trong bất phương trình cũng được gọi là ẩn, hàm ý là một đại lượng chưa biết.

Sau đây ta sẽ xét bất phương trình dạng tổng quát f(x)> 0.

Nếu với giá trị x =a, f(a) > 0 là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng a nghiệm đúng bất phương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của bất phương trình.

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm hay lời giải của bất phương trình, đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bất phương trình. Trong nhiều tài liệu người ta cũng gọi tập nghiệm của bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.

Giải một bất phương trình nghĩa là tìm tập nghiệm của nó.

• Ví dụ: Bất phương trình 4.x+ 2 > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x> -0.5. Tập nghiệm của bất phương trình là { x{\displaystyle \in \mathbb {R} } | x > -0.5 } = (0.5; {\displaystyle \infty })

2. Phân loại.

1. Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k.
2. Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép hai căn
3. Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến trên lũy thừa.
4. Các bất phương trình logarithm là các bất phương trình có chứa hàm logarit (chứa biến trong dấu logarit).

3.Cách giải một số bất phương trình đại số bậc thấp

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình dạng:

{\displaystyle a.x+b>0\,}trong đó a ≠ 0.

• Nếu a > 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: {\displaystyle \left({\frac {-b}{a}};+\infty \right)}.
• Nếu a < 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: {\displaystyle \left(-\infty ;{\frac {-b}{a}}\right)}.

trường hợp a =0

• Nếu b > 0, Phương trình vô số nghiệm.
• Nếu b < 0, Phương trình vô nghiệm

Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng:

{\displaystyle a.x^{2}+b.x+c>0\,}trong đó a ≠ 0.

Đặt Δ = b² – 4.a.c. Ta có các trường hợp sau:

• Nếu Δ < 0 và
  • a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: {\displaystyle \varnothing }.
  • a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: {\displaystyle \mathbb {R} }.
• Nếu Δ = 0 và
  • a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: {\displaystyle \varnothing }.
  • a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-b}{2a}}\right\}}.
• Nếu Δ > 0, gọi x₁, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm của phương trình bậc hai a.x² + b.x + c = 0 với

{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}};\quad \quad x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}Khi đó

• Nếu a > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: {\displaystyle (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )}
• Nếu a < 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: {\displaystyle (x_{1};x_{2})\,}

Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai khi {\displaystyle \Delta }dương và a dương

B. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1. Khái niệm.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình dạng:

<math>a.x + b > 0\,</math>trong đó a ≠ 0.

• Nếu a > 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: <math>\left(\frac {-b} a; +\infty \right)</math>.
• Nếu a < 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: <math>\left(-\infty; \frac {-b} a \right)</math>.

trường hợp a =0

• Nếu b > 0, Phương trình vô số nghiệm.
• Nếu b < 0, Phương trình vô nghiệm

C. GIẢI BÀI TẬP SGK

Bài 1 (trang 87 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

Lời giải

Bài 2 (trang 88 SGK Đại Số 10): Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:

Lời giải

Bài 3 (trang 88 SGK Đại Số 10): Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) -4x + 1 > 0 và 4x – 1 < 0

b) 2x² + 5 ≤ 2x – 1 và 2x² – 2x + 6 ≤ 0

Lời giải

a) Nhân hai vế của bất phương trình thứ nhất với – 1 và đổi chiều ta được bất phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình đó tương đương nhau.

b) Chuyển vế và đổi dấu của các hạng tử ta được hai bất phương trình giống nhau. Vậy hai phương trình đó tương đương nhau.

c) Cộng vào hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức  ta được bất phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình đó tương đương nhau.

d) Hai bất phương trình có điều kiện chung là x ≥ 1.

Ta có: 2x + 1 > 0 (∀ x ≥ 1) nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức 2x + 1 ta được bất phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình đó tương đương nhau.

Bài 4 (trang 88 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau:

b) (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x² – 5

Lời giải

⇔ 6(3x + 1) – 4(x – 2) – 3(1 – 2x) < 0

⇔ 18x + 6 – 4x + 8 – 3 + 6x < 0

⇔ 20x + 11 < 0 ⇔ 20x < -11

⇔ 

Vậy nghiệm của bất phương trình là: 

b) (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x² – 5

⇔ 2x² + 6x – x – 3 – 3x + 1 ≤ x² + 3x – x – 3 + x² – 5

⇔ 2x² + 2x – 2 ≤ 2x²2 + 2x – 8

⇔ 0x ≤ -6 (vô nghiệm)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.