Bài 6. Cung chứa góc

A. Lý thuyết 

1. Cách giải bài toán quỹ tích 

Muốn chứng minh một qũy tích (tập hợp) các điểm $M$ thỏa mãn tính chất $T$ là một hình $H$ nào đó, ta phải chứng minh hai phần;

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất $T$ đều thuộc hình $H$.

Phần đảo: Mọi điểm $M$ thuộc hình $H$ đều có tính chất $T$.

Kết luận: Quỹ tích hay tập hợp các điểm $M$ có tính chất $T$ là hình $H$.

2. Quỹ tích cung chứa góc

Quỹ tích(tập hợp): Các điểm $M$ tạo với hai nút của đoạn thẳng $AB$ cho trước một góc $\widehat{AMB}$ có số đo α cho trước ( $0^{\circ }$ < α < ${180}^{\circ }$) là hai cung tròn có số đo là ${360}^{\circ }$ – 2α đối xứng với nhau qua $AB$. 

B. Bài tập 

Bài 44 (trang 86 SGK Toán 9 tập 2): Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Lời giải

Điểm I nhình đoạn thẳng BC cố định dưới góc 135^o không đổi, vậy quỹ tích của I là cung chứa góc 135^o dựng trên đoạn thẳng BC (một cung).

Bài 45 (trang 86 SGK Toán 9 tập 2): Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. TÌm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Lời giải

Vậy quỹ tích của O là nửa đường tròn đường kính AB.

Bài 46 (trang 86 SGK Toán 9 tập 2): Dựng một cung chứa góc 55^o trên đoạn thẳng AB = 3cm.

Lời giải

Bài 47 (trang 86 SGK Toán 9 tập 2): Gọi cung chứa góc 55^o ở bài tập 46 là cung AmB. Lấy điểm M₁ nằm bên trong và điểm M₂ nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho M₁, M₂ và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

Lời giải

Bài 48 (trang 87 SGK Toán 9 tập 2): Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Lời giải

– Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính BA. Tiếp tuyến AT vuông góc với bán kính BT tại tiếp điểm T. Do AB cố định nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.

– Trường hợp đường tròn tâm B có bán kính lớn hơn BA: quỹ tích là tập hợp rỗng.

 

Bài 49 (trang 87 SGK Toán 9 tập 2): Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, góc A = 40^o và đường cao AH = 4cm.

Lời giải

Trình tự dựng gồm ba bước:

– Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

– Dựng cung chứa góc 40^o trên đoạn thẳng BC.

– Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau: Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH’= 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH’ tại H (dùng êke).

Gọi giao điểm của xy và cung chứa góc là góc A và góc A’. Khi đó tam giác ABC hoặc A’BC đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán.