Bài 4. Lý thuyết về một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

A. Lý thuyết về một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. Các hệ thức: 

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

  

$b$$a\cdot sinB$$=a\cdot cosC$;

$b=c\cdot tgB=c\cdot cotgC$

$c=a\cdot sinC=a\cdot cosB$;

$c=b\cdot tgC=b\cdot cotgB$

2. Tam giác vuông: 

Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.

B. Bài tập 

Bài 26. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xáp xỉ bằng ${34}^{\circ }$ và bóng của một tháp trên mặt đất dài 86m (H.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).

Hướng dẫn giải:

Chiều cao của tháp là:

$86\cdot tg{34}^{\circ }\approx 58\left(m\right)$

Bài 27. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:

a) $b=10cm;\hat{C}={30}^{\circ }$

b) $c=10cm;\hat{C}={45}^{\circ }$

c) $a=20cm;\hat{B}={35}^{\circ }$

d) $c=21cm;b=18cm$

Hướng dẫn giải:

a) (H.a)

$\hat{B}={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }.$

$AB=AC\cdot tgC=10\cdot tg{30}^{\circ }\approx 5,774\left(cm\right)$

$BC=\frac{AC}{cosC}=\frac{10}{\cos {30}^{\circ }}\approx 11,547\left(cm\right)$.

b) (H.b)

$\hat{B}={90}^{\circ }-{45}^{\circ }={45}^{\circ }.$

$\Rightarrow AC=AB=10\left(cm\right);$

$BC=\frac{AB}{sinC}=\frac{10}{\sin {45}^{\circ }}\approx 14,142\left(cm\right)$

c) (H.c)

$\hat{C}={90}^{\circ }-{35}^{\circ }={55}^{\circ }.$

$AB=BC\cdot cosB=20\cdot cos{35}^{\circ }\approx 16,383\left(cm\right)$

$AC=BC\cdot sinB=20\cdot sin{35}^{\circ }\approx 11,472\left(cm\right)$.

d) (H.d)

$tgB=\frac{A\mathrm{C/}}{AB}=\frac{\mathrm{18/}}{21}\approx 0,8571$

$\Rightarrow \hat{B}\approx {41}^{\circ };\hat{C}\approx {49}^{\circ }.$

$C=\frac{A\mathrm{C/}}{sinB}=\frac{\mathrm{18/}}{sin{41}^{\circ }}\approx 27,437(c\mathrm{m)}$

Nếu tính theo định lý Py-ta-go thì

$BC=\sqrt{{\mathrm{21^}}^2+{\mathrm{18^}}^2}\approx 27,659\left(cm\right)$

Kết quả này chính xác hơn vì khi tính toán, ta dùng ngay các số liệu đã cho mà không dùng kết quả trung gian.

Bài 28. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc $\alpha$ trong hình 31).

Hướng dẫn giải: 

Góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất là:

$tg\alpha =\frac{7}{4}\Rightarrow \alpha \approx {60}^{\circ }{15}^{\prime }$

Bài 29.  Một khúc sông sộng khoảng 250m. Một chiếc thuyền chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc $\alpha$ trong hình 32).

 

Hướng dẫn giải:

Chiếc đò lệch đi một góc bằng:

$cos\alpha =\frac{250}{320}\Rightarrow \alpha \approx {38}^{\circ }{37}^{\prime }$

Bài 30. Cho tam giác $ABC$, trong đó $BC=11cm$, $\widehat{ABC}={38}^{\circ },\widehat{ACB}={30}^{\circ }.$ Gọi điểm $N$ là chân của đường vuông góc kẻ từ $A$ đến cạnh $BC$. Hãy tính:

a) Đoạn thẳng $AN$;

b) Cạnh $AC$

Gợi ý: Kẻ $BK$ vuông góc với $AC$.

Giải:

a) Kẻ $BK\perp AC$ 

 

Xét tam giác vuông $BKC$ta có:

 $\widehat{KBC}={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$

suy ra $\widehat{KBA}={60}^{\circ }-{38}^{\circ }={22}^{\circ }$

Xét tam giác $KBC$ vuông tại $K$ có:

$BK=BC\cdot \sin C=11\cdot \sin {30}^{\circ }=5,5\left(cm\right)$

Xét tam giác $KBA$ vuông tại $K$ có: 

$AB=\frac{BK}{cos{22}^{\circ }}=\frac{5,5}{\cos {22}^{\circ }}\approx 5,932\left(cm\right).$

Xét tam giác $ABN$ vuông tại $N$ có:

$AN=AB\cdot \sin {38}^{\circ }\approx 5,932\cdot \sin {38}^{\circ }\approx 3,652\left(cm\right)$

b) Xét tam giác $ANC$ vuông tại $N$ có:

$AC=\frac{AN}{\sin C}\approx \frac{3,652}{\sin {30}^{\circ }}\approx 7,304\left(cm\right)$

Bài 31. Trong hình 33

$\begin{array}{cc}& AC=8cm;AD=9cm\\ & \widehat{ABC}={\mathrm{90\prime }}^{};\widehat{ACD}={\mathrm{74\prime }}^{}\end{array}$

Hãy tính:

a) AB;

b) $\widehat{ADC}$

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$AB=AC.\sin C=8.\sin {54}^0\approx 6,472\left(cm\right)$

b) Vẽ CD. Xét tam giác ACH có:

$AH=AC.\sin C=8.\sin {74}^0\approx 7,690\left(cm\right)$

Xét tam giác AHD vuông tại H có:

$\sin D=\frac{A\mathrm{H/}}{AD}\approx \frac{7,690}{9,6}\approx 0,8010\Rightarrow \hat{D}={\mathrm{53\prime }}^{}$

Nhận xét: Để tính được số đo của góc D, ta đã vẽ AH ⊥ CD. Mục đích của việc vẽ đường phụ này là để tạo ra tam giác vuông biết độ dài hai cạnh và có góc D là một góc nhọn của nó. Từ đó tính được một tỉ số lượng giác của góc D rồi suy ra số đo của góc D.