Bài 2: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp – Toán đại số 11

Lý thuyết  Bài 2: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp – Toán đại số 11

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n\ge 1$). Mỗi cách sắp thứ tự của $n$ phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của  phần tử khác nhau đã cho () được kí hiệu là $P_n$ và bằng:

$P_n=n(n-1)(n-2)...2.1=n!$

2. Chỉnh hợp:

Định nghĩa:

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n\ge 1$). Mỗi tập con sắp thứ tự gồm $k$ phần tử khác nhau ($1\le k\le n$) của tập hợp $n$ phần tử đã cho được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Chú ý:

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.

Định lí:

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $A_n^k$ và bằng

$A_n^k=n(n–1)\dots (n–k+1)=\frac{n!}{(n-k){!}^{\prime }}(1\le k\le n)$,

Với quy ước $0!=1$.

3. Tổ hợp:

Định nghĩa:

 Cho $n$ phần tử khác nhau ($n\ge 1$). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp $n$ phần tử đã cho () được gọi là một tổ hợp chập  của $n$ phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập $0$ của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí:

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $C_n^k$ và bằng

$C_n=\frac{n!/}{k!(n-k)!}$ ($0\le k\le n$).

Định lí:

Với mọi $n\ge 1;0\le k\le n$, ta có:

a) k$C_n=(n-k)C_n$

b) k$C_n+(k+1)C_n$= (k+1)${\mathrm{C(}}_{n+\mathrm{1)}}$ ( công thức Pascal).